Minimizing the Area for Planar Straight-Line Grid Drawings

The problem of finding straight-line drawings for planar graphs with small area is an important aspect in the context of drawing planar graphs and it has been extensively studied. In this thesis we will study the problem of finding planar straight-line grid drawings with minimum area. Our contributions to this problem are as follows: First, we will show, that the problem of finding minimum area straight-line drawings is NP-complete. Then we will establish a non-trivial lower bound on the area of any grid supporting straight-line drawings of every tree with a given number of nodes. In order to come up with planar straight-line grid drawings with small area, we will study the possibilities of compactifying straight-line grid drawings which we obtained from Schnyder’s realizer method [38]. For this task, we will propose a new iterative compaction algorithm, which we will evaluate in an experimental study based on a sample of more than 5,000 planar graphs, ranging from 50 up to 5, 000 nodes, which have been generated using a variety of different generators for planar graphs. We will show that a large class of planar graphs can be substantially compactified using the presented algorithm in acceptable time. Further, we will present an algorithm computing straight-line grid drawings with expected log-linear area for uniformly generated labeled trees. We will use this algorithm as an input to the compaction algorithm for trees. Zusammenfassung Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Minimierung der Fläche geradliniger Gitterzeichnungen planarer Graphen. Derartige Zeichnungen werden durch eine Abbildung der Menge der Knoten des Graphen auf ganzzahlige Koordinaten in der Ebene definiert, wobei Kanten als Liniensegmente gezeichnet werden. Die Liniensegmente zweier Kanten dürfen sich dabei nicht überschneiden. Die für eine solche Zeichnung benötigte Fläche wird im Allgemeinen durch die Anzahl der Gitterpunkte im kleinsten achsenparallelen Rechteck definiert, welches alle Punkte der Zeichnung enthält. Die Minimierung dieser Fläche ist eines der zentralen Probleme beim Zeichnen planarer Graphen, nicht zuletzt, weil der darstellbare Bereich verschiedener Medien wie Papier und Computerbildschirm begrenzt ist. Der Beitrag der vorliegenden Arbeit umfasst mehrere Facetten des Problems und läßt sich wie folgt zusammenfassen: Ein erstes, wichtiges Ergebnis dieser Arbeit ist die Erkenntnis, dass das Problem der Flächenminimierung NP-vollständig ist. Damit wird eine Lücke geschlossen, die lange Zeit offen war. Als ein weiteres Ergebnis wird gezeigt, dass das kleinste Gitter, welches geradlinige Gitterzeichnungen aller Bäume mit einer vorgegebenen Anzahl n von Knoten zulässt, eine Mindestfläche von 4 3 n aufweisen muss. Eine solche untere Schranke war für Bäume bislang nicht bekannt. Darüber hinaus wird deutlich, dass die wahre untere Schranke vermutlich sogar etwas höher angesetzt werden kann. Um dennoch mit geradlinigen Gitterzeichnungen mit geringem Flächenbedarf aufwarten zu können, wurden die Möglichkeiten der Kompaktifizierung vorhandener Gitterzeichnungen untersucht. Zu diesem Zweck wird ein iterativer Algorithmus zur Kompaktifizierung vorgestellt und anhand einer Stichprobe von mehr als 5.000 Graphen evaluiert, die mit einer Reihe verschiedener Graphgeneratoren erzeugt wurden. Die Graphen haben eine Größe von etwa 50 bis 5.000 Knoten. Es wird sich zeigen, dass eine nicht unerhebliche Menge von Gitterzeichnungen, welche mit einem dem Stand der Technik entsprechendem Verfahren gezeichnet wurden, in starkem Maße mithilfe des Algorithmus kompaktifiziert werden können. Die Ergebnisse der experimentellen Studie liefern darüber hinaus Hinweise auf strukturelle Eigenschaften von Graphen mit großem beziehungsweise kleinem Flächenbedarf. Um geradlinige Gitterzeichnungen von beliebigen Bäumen mit geringem Flächenbedarf zu erhalten, wird ein Verfahren mit erwartetem Flächenbedarf von O(n log n) vorgestellt. Der Erwartungswert wird für zufälliges, uniformes Auswählen eines Baumes aus der Menge aller Bäume mit n Knoten angenommen, deren Knoten mit den Werten 1, . . . , n beschriftet sind. Die auf diese Weise erzeugten Gitterzeichnungen wurden als Eingabe für den Kompaktifikations-Algorithmus von Bäumen verwendet. Acknowledgements I would like to thank Dorothea Wagner for giving me the opportunity to work on a very interesting topic and, especially, for her encouragements and her support for this diploma thesis. I would further like to thank Tirdad Rahmani, Reinhard Bauer and Ignatz Rutter for the many opportunities on which we discussed the scope of this thesis as well as many topics beyond this. Additionally, I would like to thank the various authors of the graph generating algorithms we used. I owe special thanks to Susanne for her encouragement and her patience.